現代数学とは何であろうか。「20 世紀に入って発達した数学を現代数学と呼ぶなら、その特徴は『モノからコトへ』と集約できる」とはカバー裏の言である。つまり、具象から抽象へということだろう。
19 世紀まで、ユークリッド空間は唯一の幾何学空間であった。しかし、非ユークリッド幾何学の誕生により、ユークリッド幾何学は単なる幾何学空間の一つ、恣意的に設定された 5 つの公理によって導かれる具体的で特殊な空間でしかないことが明らかとなる。非ユークリッド幾何学は位相幾何学へと発展し、座標という具体的な位置 (モノ) に捕われることなく、図形の繋がり方から、果ては「"近い" とは」といった「コト」を数学的に扱えるようになった。
ユークリッド幾何学は 5 つの公理をその基礎に置く公理系でもある。公理とは、点だとか線だとかの具体的な定義ではない。公理は記号の論理的操作を表すルールに過ぎない。したがって、「線、点」の代わりに「卓、椅子」といた記号でも幾何学が構築できる。ヒルベルトに始まりゲーデルに終わる数理論理学、数学基礎論については以下の書に詳しい。
もう一つ、数学で重要なコトが「無限」である。例えば自然数という数がある。有理数があり無理数がある。これらは具体的な数字である。ではこれらの集合を、延々と続く数列をまとめて操作したときに何が起こるのか。その基礎となったのがカントールの集合論であり、本書では有名な対角線論法についても詳細に解説されている (対角線論法はまた、ゲーデルの不完全性定理にも登場する重要なアイデアである)。
さて、1988 年に出版された本書の最後では、ファジィ理論、カタストロフィ理論、複雑系、カオス系についても簡単に触れられている。これらは近年の進展が目覚ましく、興味がある向きは以下の書も面白いかと思われる。
現在、スチュアート・カウフマン『自己組織化と進化の論理』に似た主題の本 (マーク・ブキャナン『歴史は「べき乗則」で動く』) を読んでいるが、この種の書物に挑戦するウォーミング・アップとしても、本書は優れていると思う。